Boîte à outils Loi binomiale : la fiche de révision

Probabilités : la loi binomiale

Par La cellule contenu de l’Etudiant, publié le 31 mai 2023

4 min

Méthodo

La loi binomiale est utilisée en probabilité pour modéliser des situations de succès/échec répétées de manière indépendante. Loi binomiale, épreuve de Bernoulli, probabilités… Besoin d’aide pour bien comprendre ces notions mathématiques ? FNADIR vous a concocté une fiche de révision.

Probabilité : les définitions à connaître

En mathématiques, quand on parle de « loi binomiale », certains termes sont inévitables et pour bien comprendre cette fiche de révision : faisons le point sur les définitions à connaître.

Loi binomiale : qu’est-ce que c’est et à quoi ça sert ?

En probabilité, la loi binomiale permet de décrire le nombre de succès dans une série d’expériences identiques et indépendantes, où il existe deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres : le nombre total d’expériences (n) et la probabilité de succès dans chaque expérience (p). La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’obtenir un nombre précis de succès dans un certain nombre d’expériences. Soit n ∈ ℕ* et p ∈ ]0 ;1[. On considère le schéma de Bernoulli pour lequel n est le nombre de répétitions et p la probabilité d’un succès.La loi de la variable aléatoire donnant le nombre de succès sur les n répétitions est appelée loi binomiale de paramètres n et p et se note B (n ; p)

Proba et schéma de Bernoulli : la définition

En proba, l’épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne peut avoir que deux résultats possibles : succès (S) ou échec (E). Chaque épreuve est indépendante des autres. Le schéma de Bernoulli est la répétition des épreuves : il peut être représenté sous forme d’arbre pondéré. Il permet d’analyser les séquences de résultats et de déterminer des propriétés statistiques telles que la fréquence des succès, la longueur des séquences de succès ou d’échecs, etc.

Loi Binomiale : exemple

On lance trois fois successivement une pièce de monnaie non équilibrée dont la probabilité de tomber sur PILE est 0,4 et on considère la variable aléatoire X donnant le nombre de PILE obtenus. On peut déterminer les probabilités associées à X à l’aide d’un arbre pondéré. La probabilité d’obtenir 2 PILE est p(X = 2) = 0,4 x 0,4 x 0,6 + 0,4 x 0,6 x 0,4 + 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,288.

Propriété : Probabilités et loi binomiale, la formule

Soit X une variable aléatoire suivant la loi B ( n ; p). Pour tout entier k dans [0 ; n], on a

Sur un arbre représentant le schéma de Bernoulli associé à X, chaque chemin (de n branches) correspondant à k succès « contient » k branches dont les pondérations sont p et n-k branches dont les pondérations dont 1-p : la probabilité lui étant associée est donc p^k x (1 – p)^n-k. Le nombre de chemins correspondant à k succès est égal au nombre de façons de placer k pondération p sur n branches soit

Il en résulte que la probabilité d’obtenir k succès est

Propriété : Espérance, variance et écart-type

Pour X, variable aléatoire suivant la loi B ( n ; p ), on a :

• L’espérance E(X) = np
• La variance V(X) = np (1-p)
• L’écart type

Propriété : Forme du diagramme en barres associé

Pour X, variable aléatoire suivant la loi B (n ; p), le diagramme en barres associé à X est en forme de cloche, approximativement centré sur son espérance E(X).